ঝুলনের জন্য ৩

১৭২৯

Wherever there is number, there is beauty.’

- গ্রীক দার্শনিক প্রোক্লুস*

সালটা 1918 । এক মাস হল প্রথম বিশ্বযুদ্ধ শেষ হয়েছে । ইংল্যান্ডের কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের ট্রিনিটি কলেজের অধ্যাপক গডফ্রে হার্ডি ট্যাক্সির অপেক্ষায় আছেন । তাঁর গন্তব্য লন্ডন । ঠিক লন্ডন নয়, লন্ডনের দক্ষিণ-পশ্চিমের ছোট্ট একটি শহর পুটনি । ইন্ট্রোভার্ট, অসামাজিক এবং অকৃতদার হার্ডি কেবলমাত্র দুটো জিনিসেই জীবনকে উৎসর্গ করেছেন - এক ক্রিকেট, দুই অঙ্ক । এর বাইরে অন্য কিছুতে মনোযোগ দেওয়ার সময় এবং ইচ্ছে কোনোটিই তাঁর নেই । তাঁর বন্ধুর সংখ্যাও হাতে গোনা তিন থেকে চারজন । তাদেরই একজন বেশ কিছুদিন ধরে অসুস্থ হয়ে পুটনির এক বেসরকারি নার্সিং হোমে ভর্তি আছেন । তাকে দেখতে যাওয়ার জন্যই ট্যাক্সির অপেক্ষা । যদিও হার্ডি এই ধরণের লৌকিকতা থেকে সচরাচর নিজেকে বিরতই রাখেন, কিন্তু এই বন্ধুটির ক্ষেত্রে ব্যাপারটি অন্যরকম ।

কিছুক্ষণ অপেক্ষার পর একটা ট্যাক্সি পাওয়া গেল । ট্যাক্সিতে চাপার আগে হার্ডি চট করে ট্যাক্সির নম্বরটা দেখে নিলেন । 1729 । নম্বরটা তাঁর বিশেষ পছন্দ হল না । সংখ্যার প্রতি অঙ্কের লোকেদের একটা স্বাভাবিক টান বা সংস্কার থাকে (ইংরেজিতে যাকে বলে অবসেশন) । হার্ডিরও ছিল । তাই যেকোনো ধরণের নম্বর দেখা মাত্র তার বিশেষত্ব খোঁজার চেষ্টা করতেন । এখন এই 1729 নম্বরটির কি বিশেষত্ব থাকতে পারে ভাবতে লাগলেন । না, মৌলিক সংখ্যা নয় । এর ঠিক আগের সংখ্যাটি, অর্থাৎ 1728 হচ্ছে 12 এর কিউব । 1729 এর তিনটিমাত্র মৌলিক উৎপাদক আছে - 7, 13 এবং 19 । তাদের সমষ্টি 39...ধ্যাত ! বাজে একটি সংখ্যা । অকারণে, হার্ডি বিরক্ত হয়ে গেলেন । পথে আর 1729 কে নিয়ে মাথা ঘামানোর প্রয়োজন মনে করলেন না ।

পুটনির নার্সিং হোমে যে বন্ধুটি ভর্তি আছেন তিনিও অঙ্কের লোক । বাড়ি ভারতবর্ষে । সেখানে অঙ্ক নিয়ে পড়াশোনা কমপ্লিট করার পর টিউশন পড়িয়ে পেট চালাতেন । অবশেষে হার্ডির পৃষ্ঠপোষকতায় কেমব্রিজে আসার সুযোগ পান । ব্যাচেলার ডিগ্রি কমপ্লিট করার পর এখানে থেকেই অঙ্ক নিয়ে গবেষণার কাজ চালিয়ে যাচ্ছেন । কয়েকমাস আগে প্রথম ভারতীয় হিসেবে ট্রিনিটি কলেজের ফেলোশিপ পেয়েছেন । কিন্তু গত একবছর ধরে নানা ধরণের শারীরিক সমস্যায় ভুগছেন । এই এখন যেমন যক্ষ্মা বাঁধিয়ে বসে আছেন ।

স্বাস্থ্যের খবরাখবর নেওয়ার পর হার্ডি তাঁর বন্ধুকে ট্যাক্সির নম্বরটি জানালেন । বললেন 1729, 'নীরস একটা নম্বর । আশা করি এতে যেন কোনো অশুভ ইঙ্গিত না থাকে ।' সঙ্গে সঙ্গে উত্তর এল, 'না । বরঞ্চ এটি খুবই ইন্টারেস্টিং একটা নম্বর ।' বলতে পারবো না অন্য কেও থাকলে এরকম স্বতঃস্ফূর্ত এবং সাততাড়াতাড়ি উত্তর দিতেন কি না । এমনকি বিরক্ত হয়ে বলতেও পারতেন - আমি এখানে যক্ষ্মায় মরতে চলেছি, আর তুমি বাপু সংখ্যার রস খুঁজে বেরচ্ছো ! কিন্তু অসুস্থ লোকটি আর পাঁচ জন সাধারণ 'অঙ্কের লোক' ছিলেন না । আমেরিকার বিখ্যাত পদার্থবিদ মিচিও কাকু তাঁকে অঙ্ক সহ গোটা বিজ্ঞান জগতের ইতিহাসে সবচেয়ে অদ্ভুত প্রতিভা বলে মনে করেন । হার্ডিরই আরেক বন্ধু এবং সহকর্মী জন লিটিলউডের মতে, 'প্রত্যেক স্বাভাবিক সংখ্যাই তাঁর অন্তরঙ্গ বন্ধু' ।  জীবনীকার রবার্ট কানিগেল যাকে একজন 'আর্টিস্ট' এবং সংখ্যাকে যার 'শিল্পের মাধ্যম' বলে পরিচয় দিয়েছেন ('The Man Who Knew Infinity' বইতে) তিনি আর কেও নন, ভারতীয় গণিতের 'পোস্টার বয়' শ্রীনিবাস আয়েঙ্গার রামানুজন ।

রামানুজন দেখালেন 1729 কে দুটো ভিন্ন উপায়ে দুটি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনফলের (অর্থাৎ কিউবের) সমষ্টি আকারে লেখা যায় । 1 এবং 12 এর কিউবের সমষ্টি (অর্থাৎ 1 + 1728) হল 1729, আবার 9 এবং 10-এর কিউবের সমষ্টিও (অর্থাৎ 729 এবং 1000) 1729 । শুধু তাই নয়, এরকমভাবে লেখা যায় সংখ্যাগুলোর মধ্যে 1729-ই হচ্ছে ক্ষুদ্রতম । 1729-এর চেয়ে ছোটো কোনো সংখ্যাকে দুটো কিউবের সমষ্টি আকারে লেখা তো যাবে, কিন্তু মাত্র একটি উপায়েই - দ্বিতীয় কোনো উপায় খুঁজে পাওয়া যাবে না । সেই দিন থেকে এই 1729 নম্বরটি বিখ্যাত হয়ে রয়েছে রামানুজনের নম্বর হিসেবে । অনেকে আবার হার্ডি-রামানুজনের নম্বরও বলে থাকেন । কোন কোন ক্ষেত্রে ট্যাক্সিক্যাব নম্বরও বলা হয় । যাই হোক, 1729 সংখ্যাটির একটি সরস বৈশিষ্ট্য পাওয়া গেল ।

হার্ডির দুর্ভাগ্য, তিনি যে সংখ্যাটিকে নিতান্ত 'নীরস', এমনকি 'অশুভ' বলে মনে করলেন, পরবর্তীকালে তারই আরও ডজনখানেক নতুন নতুন বৈশিষ্ট্য ম্যাথামেটিশিয়ানরা বের করে দিল । পৃথিবীর নানা প্রান্ত থেকে নানান অঙ্কের লোকজন - 1729-এর আর কি কি নতুন বৈশিষ্ট্য খুঁজে বের করা যায় - তার কম্পিটিশন শুরু করে দিলেন । অনেকে সফল হলেন । অনেকে আবার আগেই খুঁজে বের করে রেখেছিলেন, জাস্ট দেখিয়ে দিলেন - এই দেখ, এই ধরণের সংখ্যার কথা আমি 300 বছর আগে বলে রেখেছিলাম, 1729 হচ্ছে সেই ধরণের সংখ্যা । কয়েকটির কথা বলা যাক ।

ফরাসি আইনজীবী এবং ম্যাথামেটিশিয়ান পিয়ের দি ফার্মা (অনেকে বলে ফার্মাট্‌) তাঁর এক বন্ধু বার্নার্ড ব্রেসিকে চিঠি মারফৎ একটি নতুন উপপাদ্য উপহার দিলেন । যদি একটি মৌলিক সংখ্যা হয় এবং যেকোনো এর সাথে পরস্পর মৌলিক সংখ্যা হয় তাহলে , দ্বারা বিভাজ্য হবে । যেমন, মৌলিক সংখ্যা 7 এবং 7-এর সাথে মৌলিক একটি সংখ্যা 10 নিলে স্পষ্টই দেখা যাবে অর্থাৎ = 999999 সংখ্যাটি 7 দ্বারা বিভাজ্য হচ্ছে । এই উপপাদ্যটি ফার্মার ছোট্ট উপপাদ্য নামে বিখ্যাত । আচ্ছা, উল্টোটাও কি সত্যি ? যদি দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে কি একটি মৌলিক সংখ্যা হবে ? উত্তর হচ্ছে, না । উদাহরণ হিসেবে হলে, অনেকগুলি সংখ্যা পাওয়া যায় যেক্ষেত্রে , দ্বারা বিভাজ্য হচ্ছে কিন্তু  আদৌ মৌলিক নয় । বেলজিয়ান ম্যাথামেটিশিয়ান পল পুলে 50000000 পর্যন্ত এইধরনের যতগুলি সংখ্যা আছে সবকটি খুঁজে বের করেছিলেন । তাদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হল 341 । কারণ, অর্থাৎ , 341 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 341 মৌলিক সংখ্যা নয় () । এই ধরণের সংখ্যার নাম দেওয়া হল ছদ্মমৌলিক সংখ্যা (ইংরেজিতে pseudoprime) । কার নামে ? অবশ্যই ফার্মার নামে । যদিও এইসব 1600 শতকের ঘটনা, কিন্তু পরে দেখা গেল 1729 সংখ্যাটিও একটি ফার্মার ছদ্মমৌলিক সংখ্যা হচ্ছে ।

অঙ্কের জগতের আইজ্যাক নিউটন লিওনার্ড অয়লারের নামেও একপ্রকারের ছদ্মমৌলিক সংখ্যা আছে । যে সমস্ত বিজোড় পূর্ণসংখ্যা, (ধরি)  দ্বারা  বিভাজ্য, যেখানে  এবং  পরস্পর মৌলিক, সে সমস্ত বিজোড় পূর্ণসংখ্যাকে অয়লারের ছদ্মমৌলিক সংখ্যা বলে । যেমন 65 একটি ছদ্মমৌলিক সংখ্যা যখন  = 12 । কারণ,  অর্থাৎ , 65 দ্বারা বিভাজ্য । এখানে একটি ব্যাপার লক্ষ্য করার আছে ।  এর একটি বিশেষ মানের জন্য যে সংখ্যাটি ছদ্মমৌলিক হচ্ছে,  এর অন্য মানের জন্য সেটি ছদ্মমৌলিক নাও হতে পারে । যেমন  = 2 এর জন্য 65 ছদ্মমৌলিক নয়, কারণ, -1 বা +1 কোনটিই 65 দিয়ে ভাগ যায় না । ফার্মার ছদ্মমৌলিকের ক্ষেত্রেও ব্যাপারটি প্রযোজ্য । তা স্বত্বেও কিছু কিছু সংখ্যা আছে যারা এই বাঁধা বিপত্তি গ্রাহ্য করে না ।  এর মান যাই হোক না কেন,  দ্বারা,  অবিলম্বে ভাগ চলে যায় । এই বিশেষ ধরণের  গুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোটোটি হল 1729 ।

এরপর আমেরিকান ম্যাথামেটিশিয়ান রবার্ট কারমাইকেল মৌলিক সংখ্যা ছেড়ে যৌগিক সংখ্যার ওপর বেশি করে মনোযোগ দিলেন । তিনিও এক ধরণের সংখ্যা খুঁজে বের করলেন । নিজের নামে সংখ্যাগুলির নাম রাখলেন কারমাইকেল সংখ্যা । যে সমস্ত যৌগিক সংখ্যা, (সেই, ধরি)  দ্বারা  বিভাজ্য, যেখানে এবং  পরস্পর মৌলিক সে সমস্ত সংখ্যা হচ্ছে কারমাইকেল সংখ্যা । এখানেও দেখি 1729 ঢুকে বসে আছে । তিন নম্বর কারমাইকেল সংখ্যাটি হচ্ছে 1729 । কারণ, 1729 এর সাথে পরস্পর মৌলিক এরকম সংখ্যাগুলো, অর্থাৎ যেমন 2, 3, 4, 5 ইত্যাদির ঘাতে 1729 চাপিয়ে সেগুলি থেকে যথাক্রমে 2, 3, 4, 5 ইত্যাদি বিয়োগ করে যে সংখ্যাটি পাওয়া যাবে সেটি খোদ 1729 দ্বারা বিভাজ্য ।

খাট বা সোফা জাতীয় কোনো আসবারপত্র ব্যালেন্স করতে আমরা কাঠের কীলক ব্যবহার করে থাকি (কেকের টুকরোর মতো দেখতে, ত্রিভুজাকৃতি ঘনবস্তু) । ইংরেজিতে সেগুলোকে বলে wedge । প্রাচীন গ্রীকে ভাষায় স্পিনিক বলে একটি শব্দ আছে যার মানে এই wedge । এই স্পিনিক কথাটি ব্যবহার করে একধরণের যৌগিক সংখ্যার নামকরন করা হয়েছে । যেসব যৌগিক সংখ্যা তিনটি আলাদা আলাদা মৌলিক সংখ্যার গুণফল তাদের স্পিনিক সংখ্যা বলে । যেমন - 30 (2, 3 ও 5-র গুণফল), 715 (5, 11 ও 13-র গুণফল) ইত্যাদি । আগেই দেখিয়ে দিয়েছি  l তাই 1729-ও একটি স্পিনিক সংখ্যা ।

আরও আছে । জিসল বা জেসল সংখ্যা, হর্ষদ সংখ্যা, 12-ভুজ, 24-ভুজ, 84-ভুজ সংখ্যা ইত্যাদি ইত্যাদি ইত্যাদি সবকটিরই সাধারণ উদাহরণ হচ্ছে 1729 । বোঝাই যাচ্ছে হার্ডির আত্মা এখনও শান্তি পায়নি ! কবে পাবেন ঠিক নেই । কারণ, আরও কত আজব আজব সংখ্যার লিস্টে 1729 জায়গা করে নেবে, তা আগে থেকে কে বলতে পারে (এমনকি অঙ্কের জগত ছাড়িয়ে টিভি সিনেমার জগতেও 1729 পপুলার হয়ে রয়েছে । যেমন জনপ্রিয় আমেরিকার কার্টুন টিভি শো 'ফিউচারামা'র অনেক জায়গাতেই আড়ালে আবডালে 1729-এর উল্লেখ পাওয়া গেছে) ? বলার প্রয়োজনও নেই । কারণ, বিজ্ঞানের রানি অঙ্কের অনিশ্চয়তাই অঙ্কের বিশেষত্ব । 'As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality.' (আলবার্ট আইনস্টাইন) ।


*প্রোক্লুস না থাকলে বিখ্যাত ‘এলিমেন্টস’ বইটির লেখক যে ইউক্লিড তার ঐতিহাসিক তথ্যসূত্র পাওয়াই যেত না । প্রোক্লুস তাঁর বই ‘কমেন্টারি অন দ্যা এলিমেন্টস’-এ ইউক্লিডকে ‘এলিমেন্টস’-এর লেখক বলে চিহ্নিত করেছেন ।